Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang peubah bebasnya berbentuk linear (pangkat satu). Kalian tentu masih ingat bentuk-bentuk di bawah ini.
1. 2x 4; pertidaksamaan linear satu peubah
2. 3x + y < 0; pertidaksamaan linear dua peubah
3. x – 2y 3; pertidaksamaan linear dua peubah
4. x + y – 2z > 0; pertidaksamaan linear tiga peubah
Dalam bab ini kita hanya akan mempelajari pertidaksamaan linear dengan dua peubah. Gabungan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua peubah disebut sistem pertidaksamaan linear dua peubah.
Contoh sistem pertidaksamaan linear dua peubah adalah sebagai berikut.
3x + 8y 24,
x + y 4,
x 0,
y 0.

1. Daerah Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Peubah
Penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dua peubah adalah pasangan berurut (x,y) yang memenuhi pertidaksamaan linear tersebut. Himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan dengan suatu daerah pada bidang kartesius (bidang XOY) yang diarsir. Untuk lebih memahami daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua peubah, pelajari contoh-contoh berikut.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear di bawah ini.
a. 2x + 3y 12 c. 4x – 3y < 12
b. 2x - 5y > 20 d. 5x + 3y 15

Penyelesaian:
a. Mula-mula dilukis garis 2x + 3y = 12 dengan menghubungkan titik potong garis dengan sumbu X dan sumbu Y.
Titik potong garis dengan sumbu X berarti y = 0, diperoleh x = 6 (titik (6,0)).
Titik potong garis dengan sumbu Y berarti x = 0, diperoleh y = 4 (titik (0,4)).
Garis 2x + 3y = 12 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
2 0 + 3 0 < 12 0 < 12 Jadi 0 > 12 salah, artinya tidak dipenuhi sebagai daerah penyelesaian.
Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini.
b. Mula-mula dilukis garis 2x – 5y = 20 dengan menghubungkan titik potong garis di sumbu X dan sumbu Y.
Titik potong garis dengan sumbu X y = 0, diperoleh x = 10
(titik (10,0))
Titik potong garis dengan sumbu Y x = 0, diperoleh y = –4
(titik (0,–4))
Garis 2x – 5y = 20 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh: 2 0 – 5 0 > 20 0 > 20 (salah), artinya tidak dipenuhi. memuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar di samping.
c. Mula-mula dilukis garis 4x – 3y = 12 dengan menghubungkan titik potong garis di sumbu X dan sumbu Y.
Titik potong garis dengan sumbu X maka y = 0 diperoleh x = 3 (titik (3,0))
Titik potong garis dengan sumbu Y maka x = 0 diperoleh y = –4 (titik (0,–4))
Garis 4x – 3y = 12 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
4 0 – 3 0 < 12 0 < 12 (benar), artinya dipenuhi sebagai daerah penyelesaian.
d. Mula-mula dilukis garis 5x + 3y = 15 dengan menghubungkan titik potong garis di sumbu X dan sumbu Y.
Titik potong garis dengan sumbu X maka y = 0, diperoleh x = 3 (titik (3,0))
Titik potong garis dengan sumbu Y maka x = 0, diperoleh y = 5 (titik (0,5))
Garis 5x + 3y = 15 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. Misalkan diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
5 0 + 3 0 < 15 0 < 15 (benar), artinya dipenuhi.
Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar di samping. Berdasarkan contoh di atas, cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dengan dua peubah dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Lukislah garis ax + by = c pada bidang kartesius dengan menghubungkan titik potong garis pada sumbu X di titik (ca ,0) dan pada sumbu Y di titik (0, cb ).
2. Selidiki sebuah titik uji yang terletak di luar garis dengan cara menyubstitusikannya pada pertidaksamaan. Jika pertidaksamaan dipenuhi (benar), maka daerah yang memuat titik tersebut merupakan daerah himpunan penyelesaian. Jika pertidaksamaan tidak dipenuhi (salah), maka daerah yang tidak memuat titik uji merupakan daerah himpunan penyelesaian.